Funciones Especiales

La función valor absoluto f(x)=x, asocia a cada número su valor absoluto, es decir, su valor sin tener en cuenta el signo.

De acuerdo con la definición, x puede ser cualquier número real, por lo tanto, el dominio está representado por los números reales. Las imágenes de x, corresponden a los no negativos, por lo que el rango está determinado por todos reales no negativos.



La función parte entera hace corresponder a cada número real x, su parte entera.

Todo número real está comprendido entre dos números enteros, la parte entera de un número es el menor de los números enteros entre los que está comprendido.

La parte entera de 1,20 es 1, pero la parte entera de -1.20 es -2, ya que -1,20 está comprendido entre -1 y -2, y -2 es menor que -1.

Funciones Compuestas

Dos funciones f y g pueden combinarse para formar una función compuesta, de las siguientes maneras:

(f o g) (x) = f( g(x) )

(g o f ) (x) = g( f(x) )

Entonces:

f o = o f = x

Regla de Correspondencia

Una correspondencia unívoca es una correspondencia matemática donde cada elemento del conjunto dominio se corresponde con solo un elemento del conjunto rango.



Una correspondencia biunívoca es simplemente una correspondencia univoca cuya correspondencia inversa también es unívoca. Es decir: cada elemento del primer conjunto se corresponde con solo un elemento del segundo conjunto, y cada elemento del segundo conjunto se corresponde con solo un elemento del primer conjunto.

Función Inversa

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función que cumple que:
Si f(a) = b, entonces (b) = a.


- El dominio de es el rango de f.


- El rango de es el dominio de f.


- Si queremos hallar el rango de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
- Hay que distinguir entre la función inversa, (x), y la inversa de una función,1/f(x) .

Tipos de funciones

Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencia y extracción de raíz) aplicadas a la función identidad, f (x) = x, y a la función constante, f (x) = k.

Una función trascendental es una función no expresable como una combinación finita de operaciones algebraicas de adición, sustracción, multiplicación, división, elevación a potencia y extracción de raíz.

Ejemplos de ellas incluyen las funciones



y cualquier función que las contenga. Estas funciones son expresables en términos algebraicos sólo como serie infinita. En general, el término trascendental significa no algebraico.

Una función es continua cuando el valor de dicha función no salta súbitamente al aumentar o disminuir gradualmente la variable. Geométricamente hablando, una función continua es una que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.



Una función discontinua es una función no continua.



Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia arriba.



Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia abajo.



Una función es inyectiva o uno a uno si cada valor en el rango de la función corresponde un único origen en el dominio.



Una función es sobreyectiva, si esta aplicada sobre todo el rango.



Una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.

Números

Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.

- Los números naturales son infinitos.

- El conjunto de todos ellos se designa por N.

- N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}.

Número entero, cualquier elemento del conjunto formado por los números naturales y sus opuestos.

- El conjunto de los números enteros se designa por Z.

- Z = {…, -11, -10,…, -2, -1, -0, 1, 2,…, 10, 11,…}

Los números fraccionarios , son el cociente indicado a/b de dos números enteros que se llaman numerador, a, y denominador, b.

- Ha de ser b ≠ 0.

Llamamos números racionales al conjunto formado por todos los números enteros y todos los fraccionarios.

- El conjunto de los números racionales se designa por Q.

Un número irracional es un número que no se puede escribir en fracción.

- El decimal sigue para siempre sin repetirse.

- π es un número irracional.

Un número real es cualquier número racional o irracional.

- Los números reales pueden expresarse en forma decimal mediante un número entero, un decimal exacto, un decimal periódico o un decimal con infinitas cifras no periódicas.

- El conjunto de los números reales se designa por R.

Un número imaginario es un número cuyo cuadrado es negativo.

El término número complejo describe la suma de un número real y un número imaginario.

- El conjunto de los números complejos se designa por C.

Funciones

1. Constantes y variables.

Un símbolo que representa un valor fijo se llama una constante; un símbolo que puede representar diferentes valores se llama variable. El conjunto de valores que puede tomar una variable se llama dominio de la variable.

Hay dos tipos de constantes: absolutas y parámetros. Una constante absoluta es aquella que en todos los problemas tiene siempre el mismo valor. Por ejemplo, 2 y son constantes absolutas. Un parámetro es una constante que conserva el mismo valor en un problema particular o situación determinada, pero que puede tener un valor diferente en otro problema o situación.

2. Función

Una función es un conjunto de pares ordenados de elementos tales que ningunos dos pares distintos tienen el mismo primer elemento. El conjunto de los primeros elementos de los pares ordenados se llama dominio de la función, y el conjunto de los segundos elementos rango de la función.

Se dice que y es función de x cuando a cada valor de la variable x corresponden uno o varios valores determinados de la variable y.

Siempre que los valores de una variable y dependen de los valores de otra variable x, y es función de x; la palabra función indica dependencia.

El Dominio de una función es el conjunto de valores que toma la variable independiente, usualmente x. El Rango (o Codominio) es el conjunto de valores que pueden tomar la variable dependiente y.

La variable independiente representa los elementos del dominio y generalmente se grafica sobre el eje horizontal, la variable dependiente, por su parte, representa el recorrido de la función y generalmente se grafica sobre el eje vertical.

3. Notación de las funciones

Las funciones se denotan usualmente por las letras tales como f, g, h, F, G, H.

Por conveniencia, hemos estado usando la letra y para representar una función de x. Sin embargo, también podemos usar el símbolo f(x) en lugar de y, escribiendo y=f(x); donde f(x) se lee “función f de x” o simplemente “f de x”.