Función Par y Función Impar

Funciones pares

Se dice que una función f es par cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=f(x).

Un ejemplo de una función par es:






La gráfica es simétrica con respecto al eje y.

Funciones impares

Se dice que una función f es impar cuando para cualquier x en el dominio de f se tiene que f(-x)=-f(x).

Un ejemplo de una función impar es:

Funciones Racionales

Sea



y


Dos polinomios de grado n y m respectivamente, entonces una función racional es aquella que:



Ejemplos de funciones racionales:



En las funciones racionales, la variable x no puede tomar el valor que hace cero al denominador, por eso, el dominio de f es el conjunto de todos los números reales excepto los ceros o raíces de Q.

Para obtener el dominio de las funciones racionales pasadas se tiene que:



Por lo tanto el dominio de f(x) son todos los números reales exceptuando x=3, en términos matemáticos

Función Cuadrática

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.
Si representamos "todos" los puntos {x, f(x)} de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Corte con el eje y

Cuando x = 0 entonces

Por lo tanto se dice que función pasa por el eje y en c, siendo c el termino independiente de la función.

Corte con el eje x

La función corta al eje x cuando y = 0, entonces

y se resuelve por medio de

donde:

se le llama discriminante, Δ:

según el signo del discriminante podemos distinguir:

- Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: x1 y x2.

- Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en x1, la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen.

- Δ , la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.

Extremos relativos

Para localizar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:

calculamos su derivada respecto a x:

que si la igualamos a cero, tenemos:

donde x valdrá:

En la vertical que pasa por este valor de x se encontrará el valor máximo, mínimo o relativo de la función, el cual es el vértice de la misma.

Funciones algebraicas

Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) aplicadas a la función identidad, f (x) = x, y a la función constante, f (x) = k.

En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinomiales, racionales y las llamadas algebraicas explícitas.

Una función polinomial se define por:

donde los coeficientes

son números reales y n es un número natural y cero.

- Se llama función polinomial de grado n

- El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales.

La función lineal (función polinomial de primer grado) es de la forma y = f (x) = ax + b; a y b son números dados; el dominio y rango es el conjunto de todos los números reales.

- La gráfica de cualquier función lineal es una línea recta.

- La a representa la pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen).

Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma: f(x)=c donde c pertenece a los números reales y es una constante.

- El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales y el rango es c.

- La gráfica de la función constante es una línea recta paralela al eje x, y corta al eje y en y = c.

- Se puede considerar a la función constante como un caso particular de la función lineal cuando se hace x = 0 .

Una función identidad es una función que devuelve su propio argumento, esto es f(x) =x.

- El dominio y el rango de la función identidad es el conjunto de los números reales.

- La función identidad se encuentra en los cuadrantes I y III.

Funciones Especiales

La función valor absoluto f(x)=x, asocia a cada número su valor absoluto, es decir, su valor sin tener en cuenta el signo.

De acuerdo con la definición, x puede ser cualquier número real, por lo tanto, el dominio está representado por los números reales. Las imágenes de x, corresponden a los no negativos, por lo que el rango está determinado por todos reales no negativos.



La función parte entera hace corresponder a cada número real x, su parte entera.

Todo número real está comprendido entre dos números enteros, la parte entera de un número es el menor de los números enteros entre los que está comprendido.

La parte entera de 1,20 es 1, pero la parte entera de -1.20 es -2, ya que -1,20 está comprendido entre -1 y -2, y -2 es menor que -1.

Funciones Compuestas

Dos funciones f y g pueden combinarse para formar una función compuesta, de las siguientes maneras:

(f o g) (x) = f( g(x) )

(g o f ) (x) = g( f(x) )

Entonces:

f o = o f = x

Regla de Correspondencia

Una correspondencia unívoca es una correspondencia matemática donde cada elemento del conjunto dominio se corresponde con solo un elemento del conjunto rango.



Una correspondencia biunívoca es simplemente una correspondencia univoca cuya correspondencia inversa también es unívoca. Es decir: cada elemento del primer conjunto se corresponde con solo un elemento del segundo conjunto, y cada elemento del segundo conjunto se corresponde con solo un elemento del primer conjunto.

Función Inversa

Se llama función inversa o reciproca de f a otra función que cumple que:
Si f(a) = b, entonces (b) = a.


- El dominio de es el rango de f.


- El rango de es el dominio de f.


- Si queremos hallar el rango de una función tenemos que hallar el dominio de su función inversa.
- Hay que distinguir entre la función inversa, (x), y la inversa de una función,1/f(x) .

Tipos de funciones

Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, elevación a potencia y extracción de raíz) aplicadas a la función identidad, f (x) = x, y a la función constante, f (x) = k.

Una función trascendental es una función no expresable como una combinación finita de operaciones algebraicas de adición, sustracción, multiplicación, división, elevación a potencia y extracción de raíz.

Ejemplos de ellas incluyen las funciones



y cualquier función que las contenga. Estas funciones son expresables en términos algebraicos sólo como serie infinita. En general, el término trascendental significa no algebraico.

Una función es continua cuando el valor de dicha función no salta súbitamente al aumentar o disminuir gradualmente la variable. Geométricamente hablando, una función continua es una que se puede dibujar sin levantar el lápiz del papel.



Una función discontinua es una función no continua.



Cuando en la gráfica de una función estrictamente creciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia arriba.



Cuando en la gráfica de una función estrictamente decreciente nos movemos hacia la derecha también nos movemos hacia abajo.



Una función es inyectiva o uno a uno si cada valor en el rango de la función corresponde un único origen en el dominio.



Una función es sobreyectiva, si esta aplicada sobre todo el rango.



Una función es biyectiva si es al mismo tiempo inyectiva y sobreyectiva.