lunes, 16 de marzo de 2009

Función Cuadrática

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:



donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.
Si representamos "todos" los puntos {x, f(x)} de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.


Corte con el eje y


Cuando x = 0 entonces


Por lo tanto se dice que función pasa por el eje y en c, siendo c el termino independiente de la función.

Corte con el eje x


La función corta al eje x cuando y = 0, entonces


y se resuelve por medio de

donde:

se le llama discriminante, Δ:

según el signo del discriminante podemos distinguir:


- Δ > 0, la ecuación tiene dos soluciones, por tanto la parábola cortara al eje x en dos puntos: x1 y x2.


- Δ = 0, la ecuación tiene una única solución en x1, la parábola solo tiene un punto en común con el eje x, el cual es el vértice de la función donde las dos ramas de la parábola confluyen.


- Δ , la ecuación no tiene solución real, y la parábola no corta al eje x.


Extremos relativos


Para localizar los extremos relativos, se calcula la derivada de la función, y se iguala a cero, la solución a esta ecuación son los posibles máximos y mínimos de la función, en este caso, partiendo de la función cuadrática:

calculamos su derivada respecto a x:

que si la igualamos a cero, tenemos:

donde x valdrá:

En la vertical que pasa por este valor de x se encontrará el valor máximo, mínimo o relativo de la función, el cual es el vértice de la misma.

domingo, 8 de marzo de 2009

Funciones algebraicas

Las funciones algebraicas son aquellas construidas por un número finito de operaciones algebraicas (suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación) aplicadas a la función identidad, f (x) = x, y a la función constante, f (x) = k.

En general, las funciones algebraicas abarcan a las funciones polinomiales, racionales y las llamadas algebraicas explícitas.

Una función polinomial se define por:



donde los coeficientes

son números reales y n es un número natural y cero.


- Se llama función polinomial de grado n


- El dominio de la función polinomial es el conjunto de los números reales.


La función lineal (función polinomial de primer grado) es de la forma y = f (x) = ax + b; a y b son números dados; el dominio y rango es el conjunto de todos los números reales.


- La gráfica de cualquier función lineal es una línea recta.


- La a representa la pendiente de la recta y b, el intercepto con el eje y (u ordenada en el origen).


Se llama función constante a la que no depende de ninguna variable, y la podemos representar como una función matemática de la forma: f(x)=c donde c pertenece a los números reales y es una constante.


- El dominio de la función constante es el conjunto de los números reales y el rango es c.


- La gráfica de la función constante es una línea recta paralela al eje x, y corta al eje y en y = c.


- Se puede considerar a la función constante como un caso particular de la función lineal cuando se hace x = 0 .


Una función identidad es una función que devuelve su propio argumento, esto es f(x) =x.


- El dominio y el rango de la función identidad es el conjunto de los números reales.


- La función identidad se encuentra en los cuadrantes I y III.